Este blog faz parte de um programa de formação a distância de educadores. O curso Melhor Gestão, Melhor Ensino é uma ação de formação continuada para professores PEB II dos anos finais de Língua Portuguesa e Matemática da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. O objetivo é ampliar a formação dos cursistas para que possam participar de forma mais efetiva das práticas atuais que envolvem a leitura e a escrita em diversos contextos, situações, suportes e mídias, uma das exigências para uma participação mais efetiva, letrada e cidadã na sociedade.
Partindo do princípio que em qualquer disciplina, conhecer é sempre conhecer o significado, ou seja, o grande valor a ser cultivado é a apresentação de conteúdos significativos para os alunos. E na construção dos significados, uma ideia norteadora é de que as narrativas são muito importantes, são verdadeiramente decisivas na arquitetura de cada aula.
E nesse espaço, disponibilizaremos histórias. É contando histórias que os significados são construídos.

domingo, 16 de junho de 2013

Pitágoras: Um teorema que vale 100 bois




Extraído do livro Contando a história da matemática, 6, de Oscar Guelli, Editora Ática.

Curiosidades Históricas

http://pitagoras-upt.tripod.com/imagelib/sitebuilder/layout/spacer.gif
http://pitagoras-upt.tripod.com/imagelib/sitebuilder/layout/spacer.gif
Teorema de Pitágoras


Os antigos egípcios usavam uma corda com 13 nós igualmente espaçados para determinar um ângulo reto e, do mesmo modo, determinar a perpendicular a uma dada reta.



A corda de 13 nós igualmente espaçados ficava dividida em 12 partes iguais.
Um homem A segurava os dois nós extremos (o 1º e o 13º); um segundo homem B segurava o 4.º nó; e um terceiro homem C segurava o 8.º nó.


Afastavam-se então, de forma a que a corda entre eles ficasse bem esticada. Quando isso acontecia, tinha-se formado um triângulo retângulo e, consequentemente, também um ângulo reto. E se quisesse determinar a perpendicular a uma reta r, bastaria que os homens A e B se colocassem sobre r. Neste caso, a reta definida pela corda segurada pelos homens B e C dá a perpendicular a r.
Efetivamente esta técnica permite construir um triângulo cujos lados medem 3 e 5, referidas à unidade de comprimento definida por dois nós consecutivos. Ora, estas medidas verificam o teorema de Pitágoras.
Com efeito 32+4=52 , ou seja, 9 + 16 = 25. E como o teorema de Pitágoras diz respeito a triângulos retângulos, é de admitir que este triângulo seja formado um, onde o ângulo reto se opõe ao lado de medida 5. (hipotenusa).
Estes conhecimentos permitem resolver certo tipo de problemas práticos tais como o das marcações das propriedades do antigo Egito que as cheias do Nilo modificavam e faziam desaparecer todos os anos.





sábado, 15 de junho de 2013

Um quebra-cabeça diferente

Você certamente já deve ter montado um quebra-cabeça: foi só abrir a caixa, espalhar as peças e começar a brincadeira, não foi? Agora você vai montar um quebra-cabeça diferente dos outros que você conhece, pois, brincando com ele, aprenderá um pouco mais de Matemática. E, o que é mais interessante, este quebra-cabeça não vem pronto. Você é que vai construí-lo.
A construção do quebra-cabeça
Utilizando uma cartolina, desenhe uma figura como esta:
Se sua figura estiver correta, siga adiante. Para facilitar o entendimento das próximas instruções, vamos colocar letras nos vértices das figuras:
Agora, usando régua e lápis, prolongue a linha IC até ela encontrar a linha EA no ponto J. Prolongue também a linha HB até ela encontrar FG no ponto K. Depois, desenhe a linha KL, que faz ângulo reto com BK.
Numere as partes dos quadrados menores e escolha diferentes cores para pintar cada quadrado.
Recorte cada uma das partes numeradas.
Você deve encaixar as figuras 1, 2, 3, 4 e 5 dentro do quadradão do desenho base. É possível arrumá-las de modo que, juntas, preencham completamente o quadrado maior. Tente! Com paciência, você conseguirá.

Abaixo segue a solução.


Podemos então concluir que a área do quadradão é a soma das áreas das cinco figuras.

Fonte: Descobrindo o teorema de Pitágoras
          Luiz Márcio Imenes





Mania de Pitágoras

Elisha Scott Loomis, professor de Matemática em Cleveland, Ohio (Estados Unidos) era realmente um apaixonado pelo teorema de Pitágoras. Durante 20 anos, de 1907 a 1927, colecionou demonstrações desse teorema, agrupou-as e as organizou num livro, ao qual chamou “The Pythagorean Proposition”. (A Proposição de Pitágoras.) A primeira edição, em 1927, continha 230 demonstrações. Na segunda edição, publicada em 1940, este número foi aumentado para 370 demonstrações. Depois do falecimento do autor, o livro foi reimpresso, em 1968 e 1972, pelo “National Council of Teachers of Mathematics” daquele país.
O Professor Loomis classifica as demonstrações do Teorema de Pitágoras em basicamente dois tipos: provas “algébricas” (baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos) e provas “geométricas” (baseadas em comparações de áreas). Ele se dá ao trabalho de observar que não é possível provar o Teorema de Pitágoras com argumentos trigonométricos porque a igualdade fundamental da Trigonometria, cos2x + sen2x = 1, já é um caso particular daquele teorema.
Como sabemos, o enunciado do Teorema de Pitágoras é o seguinte: “A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos”.
Se a, b são as medidas dos catetos e c é a medida da hipotenusa, o enunciado acima equivale a afirmar que a2 + b2 = c2.
Documentos históricos mostram que os egípcios e os babilônios, muito antes dos gregos, conheciam casos particulares desse teorema, expressões em relações como
32 + 42 = 52  e 
12 = (3/2)2 = (1 ¼)2
O fato de que o triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo era (e ainda é) útil aos agrimensores. Há também um manuscrito chinês, datando de mais de mil anos antes de Cristo, onde se encontra a seguinte afirmação: “Tome o quadrado do primeiro lado e o quadrado do segundo e os some; a raiz quadrada dessa soma é a hipotenusa”. Outros documentos antigos mostram que na Índia, bem antes da era Cristã, sabia-se que os triângulos de lados 3, 4, 5 ou 5, 12, 13, ou 12, 35, 37 são retângulos.
O que parece certo, todavia, é que nenhum desses povos sabia demonstrar o teorema. Tudo indica que Pitágoras foi o primeiro a prová-lo. (Ou alguém da sua Escola o fez, o que dá no mesmo, pois o conhecimento científico naquele grupo era propriedade comum).

A mais bela prova
Qual foi a demonstração dada por Pitágoras? Não se sabe ao certo, pois ele não deixou trabalhos escritos.  A maioria dos historiadores acredita que foi uma demonstração do tipo “geométrico”, isto é, baseada na comparação de áreas. Não foi a que se encontra nos “Elementos” de Euclides, e que é ainda hoje encontrada nos livros de Geometria, pois tal demonstração parece ter sido concebida pelo próprio Euclides. A demonstração de Pitágoras pode muito bem ter sido a que decorre das figuras abaixo.
Do quadrado que tem a + b como lado, retiremos 4 triângulos iguais ao lado. Se fizermos isto como na figura à esquerda, obteremos um quadrado de lado c. Mas se a mesma operação for feita como na figura à direita, restarão dois quadrados, de lados a e b respectivamente. Logo, a área do quadrado de lado c é a soma das áreas dos quadrados cujos lados medem a e b.
Esta é, provavelmente, a mais bela demonstração do Teorema de Pitágoras. Entretanto, no livro de Loomis ela aprece sem maior destaque, como variante de uma das provas dadas, não sendo sequer contada entre as 370 numeradas.

A prova mais curta
É também a mais conhecida. Baseia-se na seguinte consequência da semelhança de triângulos retângulos: “Num triângulo retângulo, cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e sua projeção sobre ela”. Assim, se m e n são respectivamente as projeções dos catetos a e b sobre a hipotenusa c, temos a2 = mc, b2 = nc, enquanto m + n = c. Somando, vem a2 + b2 = c2.

 

A demonstração do presidente
James Abram Garfield, presidente dos Estados Unidos durante apenas 4 meses (pois foi assassinado em 1881) era também general e também gostava de Matemática. Ele deu uma prova do Teorema baseada na figura abaixo.
A área do trapézio com bases a, b e altura a + b é igual à semi-soma das bases vezes a altura. Por outro  lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de 3 triângulos. Portanto
a + b/2 . (a + b) = ab/2 + ab/2 + c2/2
Simplificando, obtemos a2 + b2 = c2.  


 A demonstração de Leonardo da Vinci
O grande gênio criador da Mona Lisa também concebeu uma demonstração do Teorema de Pitágoras, que se baseia na figura abaixo.


Os quadriláteros ABCD, DEFA, GFHI e GEJI são congruentes. Logo os hexágonos ABCDEF e GEJIHF têm a mesma área. Daí resulta que a área do quadrado FEJH é a soma das áreas dos quadrados ABGF e CDEG.

Fonte: Meu Professor de Matemática e outras histórias
          Elon Lages Lima


Plano de Aula - O teorema de Pitágoras

Introdução
Pergunte a qualquer aluno de colégio o nome de um matemático famoso e, presumindo que ele consiga se lembrar de um, muito frequentemente ele optará por Pitágoras. Se não, Arquimedes pode vir à cabeça. Até mesmo o ilustre  Isaac Newton precisa trocar terceiro violino para esses superstars do mundo antigo. Arquimedes foi um gigante intelectual, e Pitágoras provavelmente não foi, mas merece mais crédito do que geralmente recebe. Não pelo que alcançou, mas pelo que pôs em movimento.
Pitágoras nasceu na ilha grega de Samos, no Egeu ocidental, por volta de 570 a.C. Era filósofo e geômetra. O pouco que sabemos sobre sua vida provém de autores que viveram muito depois, e sua precisão histórica é questionável, mas os acontecimentos cruciais provavelmente estão corretos. Em torno de 530 a.C. mudou-se para Crotona, uma colônia grega na região em que hoje está a Itália. Ali fundou um culto filosófico-religioso, os pitagóricos, que acreditavam que a base do universo é o número. A fama do seu fundador até os dias de hoje reside no teorema que leva seu nome. Esse teorema tem sido ensinado por mais de 2 mil anos e penetrou na cultura popular. O filme Viva o palhaço!, de 1958, estrelado por Danny Kaye, inclui uma canção cuja letra começa:
O quadrado da hipotenusa
de um triângulo retângulo
é igual à
soma dos quadrados
dos dois lados adjacentes.
A canção prossegue com alguns duplos sentidos acerca de não deixar seu particípio balançar, e associa Einstein, Newton e os irmãos Wright ao famoso teorema. Os dois primeiros exclamam “Eureca!”; não, isso foi Arquimedes. Você concluirá que a letra não prima pela acuidade histórica, mas isto é Hollywood.
O teorema de Pitágoras aparece em piadas e trocadilhos, fazendo a alegria de estudantes que brincam com a semelhança entre hipotenusa e hipopótama. Como todas as piadas, é bem difícil saber de onde surgiu. Há desenhos animados sobre Pitágoras, camisetas e até um selo grego.
Apesar de todo esse rebuliço, não temos a menor ideia se Pitágoras de fato provou seu teorema. Na verdade, nem sequer sabemos se o teorema era mesmo dele. Pode muito bem ter sido descoberto por um de seus adeptos, ou algum escriba sumério ou babilônio. Mas Pitágoras recebeu o crédito, e seu nome pegou. Qualquer que seja sua origem, o teorema e suas consequências exerceram um impacto gigantesco sobre a história humana. Eles abriram completamente o nosso mundo.

Objetivo geral
  • Resolver situações-problema, sabendo avaliar estratégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e processos, como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemáticos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis.

Objetivos específicos
  • Justificar um resultado a partir de fatos considerados mais simples.
  • Identificar padrões numéricos e geométricos.
  • Interpretar enunciados.
  • Perceber a Matemática como conhecimento historicamente construído.
  • Reconhecer a semelhança entre os triângulos retângulos.
  • Aplicar as relações métricas entre as medidas dos elementos de um triângulo na resolução de situações-problema.
  • Aplicar o teorema de Pitágoras na resolução de situações-problema.

Justificativa
O teorema de Pitágoras apresenta-se como excelente situação para abordar a Matemática a partir de uma perspectiva histórica, o que entendemos ser uma fonte de motivação e de criação de significados. Fornece um elo vital entre geometria e álgebra, permitindo-nos calcular distâncias em termos de coordenadas. Além disso, inspirou a trigonometria.
Com o teorema de Pitágoras, os problemas geométricos ganham uma qualidade diferente. A relação entre os lados do triângulo retângulo permite explorar as figuras geométricas de novas maneiras. Vários conceitos métricos associados a polígonos, como a determinação das medidas da altura e das diagonais, podem ser explorados de forma mais significativa.
A aplicação do teorema de Pitágoras é muito abrangente, podendo ser identificada na trigonometria, na geometria analítica, quando são estudadas a distância entre pontos e as equações das cônicas, e na geometria espacial métrica.

Anos: 8º e 9º

Tempo estimado
8º ano: 2 semanas
9º ano: 3 semanas

Procedimentos metodológicos

I) Atividades que permitirão a construção da lógica que servirá de referência para a demonstração do teorema de Pitágoras.
1) Atividade de pesquisa sobre Pitágoras e sua visão de mundo.
2) Utilização de narrativas ficcionais – trechos do livro “O teorema do papagaio” de Denis Quedj.
3) Situações-problema próximas às enfrentadas pelos pitagóricos. Esse resgate combina a história da Matemática e a resolução de problemas em uma só abordagem de ensino.
4) Criação de um esquadro de barbante. Essa atividade mostra aos alunos como os egípcios resolveram o problema de traçar ângulos retos na construção das pirâmides.
5) Utilização de malha quadriculada para construção do triângulo 3, 4 e 5. O objetivo dessa atividade é levar o aluno a construir uma relação entre os quadrados dos números do triângulo 3, 4 e 5.
6) Usando o método dedutivo. Com essa atividade vamos provar, dedutivamente, que, em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
7) Construção de um quebra-cabeça diferente
8) Atividade sobre os números pitagóricos. Levar o aluno a encontrar outros ternos de números inteiros que sejam lados de um triângulo retângulo.
9) Demonstração algébrica do teorema de Pitágoras
10) Resolução de exercícios exemplares que visam aplicar o teorema de Pitágoras em diferentes contextos.

II) Atividades de aprofundamento e ampliação  do estudo do teorema de Pitágoras a partir do reconhecimento da semelhança entre dois triângulos.
1) Utilização de triângulos retângulos semelhantes para a demonstração das relações métricas.
2) Problemas envolvendo o cálculo de áreas e o teorema de Pitágoras.
3) Aplicações do teorema de Pitágoras em situações-problema.

Recursos e materiais tecnológicos
Papel quadriculado, calculadoras, cartolinas coloridas, canetas coloridas, EVA, livro paradidático “Descobrindo o teorema de Pitágoras” de Luiz Márcio Imenes, livro "O teorema do papagaio" de Denis Guedj e internet.

Avaliação
O tema  será avaliado de forma contínua, acompanhando o desenvolvimento pessoal e coletivo da turma na resolução das atividades propostas, individualmente ou em grupo.
Exploração de uma nova situação de demonstração figurativa no sentido de apreender como os alunos estão analisando uma situação e como argumentam em sua demonstração.
Proposição de problemas semelhantes aos trabalhados, resolvidos individualmente e em pequenos grupos.

Recuperação
Considerando que algumas metas não tenham sido alcançadas, será retomado os aspectos essenciais do processo de demonstração do teorema e propostos um conjunto de exercícios de contexto que permitam a identificação da hipotenusa e dos catetos e a aplicação do teorema na sua solução.


Referências bibliográficas
GUEDJ, D. O teorema do papagaio. São Paulo: Companhia das Letras, 1999.
IMENES, L. M. Descobrindo o teorema de Pitágoras. São Paulo: Scipione, 1990.
STEWART, Ian. Dezessete equações que mudaram o mundo. Rio de Janeiro: Zahar, 2013.

sexta-feira, 14 de junho de 2013

domingo, 9 de junho de 2013

Poesias da Matemática

Aula De Matemática

Pra que dividir sem raciocinar
Na vida é sempre bom multiplicar
E por A mais B
Eu quero demonstrar
Que gosto imensamente de você

Por uma fração infinitesimal,
Você criou um caso de cálculo integral
E para resolver este problema
Eu tenho um teorema banal

Quando dois meios se encontram desaparece a fração
E se achamos a unidade
Está resolvida a questão

Pra finalizar, vamos recordar
Que menos por menos dá mais amor
Se vão as paralelas
Ao infinito se encontrar
Por que demoram tanto os corações a se integrar?
Se infinitamente, incomensuravelmente,
Eu estou perdidamente apaixonado por você
Tom Jobim